Le triangle de Pascal - Les différentes séries en diagonal du triangle

Le triangle de Pascal est un tableau triangulaire très élaboré qui présente des coefficients binominaux dans un triangle. Nommé après Blaise Pascal, il contient plusieurs formules et séries qui permettent de trouver un certain nombre sur le triangle en utilisant d’autres nombres sur le triangle. La série le plus commun s'agit d'additionner deux nombres du même rangée horizontal qui sont l'un à côté de l'autre, et la somme de ceci nous donne le nombre qui se retrouve directement sous ces des nombres. Cependant, il existe plusieurs autres séries, utilisant seulement les diagonaux du triangle, que nous pouvons trouver sur le triangle de Pascal. Aujourd'hui, je vous expliquerai les différentes séries en diagonaux du triangle.

Pour chaque diagonal du triangle de Pascal, on retrouve en fait deux diagonaux, un qui descend vers la droite, un qui descend vers la gauche. Cependant, chacun de ces deux diagonaux sont exactement le même. Cela est pourquoi lorsqu'on parle de, par exemple, diagonal 1, on parle des deux diagonaux de l'extérieur du triangle (qui sont évidement chacun fait de seulement le numéro 1). Les diagonaux, comme les rangées, sont nommés l'un après l'autre dépendant de leur hauteur sur le triangle. Donc, par exemple, les deux diagonales qui commencent avec la pointe du triangle, sont connu comme diagonale 1.

Les deux premiers diagonaux

Les deux premiers diagonaux, diagonaux 1 et 2, sont chacun spécial. Le diagonal 1 est totalement fait de numéros 1. Ceci ne change jamais, au bas ou au haut du triangle. Ceci veut dire que chaque rangé et chaque diagonal débute avec le nombre 1.

Le diagonal 2 contient les nombres naturels en ordre commençant avec 1 (ex : 1,2,3 etc...). Ceci aussi ne change pas en aucun endroit dans le triangle.

Calculer le prochain nombre d'un diagonal

Pour calculer le prochain nombre d'un diagonal, il s'agit de prendre n'importe qu'elle nombre sur un diagonal, et lui multiplier par le facteur de le nombre qui se retrouve dessous lui mais qui est sur le côté opposé du nombre qu'on veut trouver diviser par le nombre de la diagonal du nombre initial.  Ceci est plus facile à comprendre en regardant la formule ci-dessous:

Avec cette formule nous pouvons utiliser n'importe qu'elle numéro sur le triangle tout en sachant le nombre du diagonal du nombre au dessus, le nombre au dessus et le nombre a côté qui sont sur le même côté.

 

Les nombres Polygonaux

Les nombres polygonaux sont des nombres qui peuvent être représentés par un polygone régulier. Pour agrandir et trouver d'un polygone il s'agit d'allonger deux cotés du polygone de une unité, et ensuite compléter le polygone avec le nombre de points nécessaires. Il existe plusieurs types de nombres polygonaux, qui dépendent chacun du polygone dont ont utilisent (ex : nombres triangulaires, nombres carrés).


Ex: Nombre Triangulaire



 Les Nombre Triangulaire

Les nombres triangulaires se retrouvent en ordre du plus petit au plus grand commencant avec 1 dans le diagonal 3 du triangle de Pascal.

Les Nombres Carrés

Les nombres carrés, un type différent de nombre polygonaux, sont aussi trouvé dans le diagonal 3. Cependant, pour trouver les nombres carrés dans le triangle, il faut additionner le nombre de la diagonal 3 avec le nombre sur la diagonal 3 qui lui précède, ces nombres dépendent de qu'elle nombre carré on veut trouver. Donc, par exemple, si on veut trouver le 2ème nombre carré, on prend le deuxième nombre sur la diagonal 3 (3), et ont lui additionne au nombre qui précède ce 3 sur le diagonal 3 (1). 1+3=4. Donc, le 2ème nombre carré est 3. Le diagramme qui suit explique les additions des nombres dans le diagonal 3 pour trouver les nombres carrés. Les différents couleurs de petit ovales sert a différencier les additions.

La série Fibonacci

Nous pouvons aussi trouver les nombres de la série Fibonacci utilisant des lignes diagonales du triangle de Pascal, cependant les lignes diagonales sont des lignes de nombres avec une pente un peu moins élève. En additionnant les nombres sur ces lignes, nous pouvons trouvés les nombres de la série Fibonacci.



On voie comment les lignes ne sont pas
nos diagonales normales, mais plutot
des lignes avec une pente moins haute


Le dessin ci-dessous est un triangle de Pascal un peu modifié, mais démontre le même modèle que l'original. Les différentes couleurs sert a démontrer les différents nombres du triangle qu'on additionne afin de trouver le nombre du série de Fibonnaci.

Ex (les nombres du couleur vert) : 1+3+1=5 (qui est le 5ème nombre de la série Fibonnaci).

La série du "bâton de hockey"

Si les nombres d’un diagonal, quelle que soit la longueur mais qui commence a n'importe laquelle des uns,  sont additionner ensembles, la somme de ces nombres de ce diagonale sera égal au nombre dessous le dernier nombre du diagonal qui n'est pas sur la diagonal lui-même. Il est souvent appelé la série du "bâton de hockey" car la figure qui est formé avec la diagonal et sa somme ressemble à un bâton de hockey. Le dessin ci dessous explique bien la série.


Rouge --> 1+6+21+56=84
Vert --> 1+7+28+84+210+462+924=1716
Bleu --> 1+12=13

Pour conclure, le triangle de Pascal est un outil mathématique très interessant et unique. En utilisant seulement les diagonales, on peut retrouver plusieurs séries spectaculaires. En connaisant bien le triangle, on approfondit d'avantage nos connaissances en mathématiques. 

Bibliography

- http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle_de_Pascal
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle
- http://ptri1.tripod.com/
- http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html
- http://en.wikipedia.org/wiki/Polygonal_number